Zgjidhja e ushtrimit 9

Duke ditur se pikat $A, B, C, D$ ndodhen në një drejtëz dhe nga figura $A, C, B, D$ janë në këtë renditje. Kemi $AC:CB = AD:BD = \lambda:\mu$. Pikat $C$ dhe $D$ i ndajnë segmentet $AB$ dhe $AB$ në raportet $\lambda:\mu$. Këto janë ndarje harmonike, ku $C$ bën ndarjen e brendshme dhe $D$ bën ndarjen e jashtme.

Rrezvektorët e pikave $A$ dhe $B$ janë $\vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}$ dhe $\vec{b} = 7\vec{i} + 3\vec{j} + 9\vec{k}$.

Pika $C$ e ndan segmentin $AB$ në raportin $\lambda:\mu = 3:2$. Rrezvektori i $C$ është:

$$\vec{c} = \frac{\mu\vec{a} + \lambda\vec{b}}{\lambda + \mu} = \frac{2(2\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}) + 3(7\vec{i} + 3\vec{j} + 9\vec{k})}{3 + 2}$$

$$\vec{c} = \frac{4\vec{i} + 2\vec{j} + 6\vec{k} + 21\vec{i} + 9\vec{j} + 27\vec{k}}{5} = \frac{25\vec{i} + 11\vec{j} + 33\vec{k}}{5}$$

Pika $D$ e ndan segmentin $AB$ në raportin $\lambda:\mu = 3:2$ (ndarje e jashtme). Rrezvektori i $D$ është:

$$\vec{d} = \frac{-\mu\vec{a} + \lambda\vec{b}}{\lambda - \mu} = \frac{-2(2\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}) + 3(7\vec{i} + 3\vec{j} + 9\vec{k})}{3 - 2}$$

$$\vec{d} = \frac{-4\vec{i} - 2\vec{j} - 6\vec{k} + 21\vec{i} + 9\vec{j} + 27\vec{k}}{1} = 17\vec{i} + 7\vec{j} + 21\vec{k}$$

Gjatësia e $CD$ është madhësia e vektorit $\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$.

$$\vec{CD} = (17\vec{i} + 7\vec{j} + 21\vec{k}) - \left(\frac{25}{5}\vec{i} + \frac{11}{5}\vec{j} + \frac{33}{5}\vec{k}\right)$$

$$\vec{CD} = \left(17 - \frac{25}{5}\right)\vec{i} + \left(7 - \frac{11}{5}\right)\vec{j} + \left(21 - \frac{33}{5}\right)\vec{k}$$

$$\vec{CD} = \left(\frac{85 - 25}{5}\right)\vec{i} + \left(\frac{35 - 11}{5}\right)\vec{j} + \left(\frac{105 - 33}{5}\right)\vec{k}$$

$$\vec{CD} = \frac{60}{5}\vec{i} + \frac{24}{5}\vec{j} + \frac{72}{5}\vec{k} = 12\vec{i} + \frac{24}{5}\vec{j} + \frac{72}{5}\vec{k}$$

Gjatësia $CD = |\vec{CD}|$:

$$CD = \sqrt{12^2 + \left(\frac{24}{5}\right)^2 + \left(\frac{72}{5}\right)^2}$$

$$CD = \sqrt{144 + \frac{576}{25} + \frac{5184}{25}} = \sqrt{\frac{144 \cdot 25 + 576 + 5184}{25}}$$

$$CD = \sqrt{\frac{3600 + 576 + 5184}{25}} = \sqrt{\frac{9360}{25}} = \frac{\sqrt{9360}}{5} = \frac{\sqrt{144 \cdot 65}}{5} = \frac{12\sqrt{65}}{5}$$