Zgjidhja e ushtrimit 8

Për të njehsuar integralin $ \int (x^2 + 2x - 1)e^x dx $, përdorim integrimin me pjesë dy herë.

Formula e integrimit me pjesë: $ \int u dv = uv - \int v du $

Hapi 1: Aplikimi i parë i integrimit me pjesë.

$$ u = x^2 + 2x - 1 \implies du = (2x + 2) dx $$ $$ dv = e^x dx \implies v = e^x $$ $$ \int (x^2 + 2x - 1)e^x dx = (x^2 + 2x - 1)e^x - \int (2x + 2)e^x dx $$

Hapi 2: Njehsojmë integralin e mbetur $ \int (2x + 2)e^x dx $ duke përdorur përsëri integrimin me pjesë.

$$ u' = 2x + 2 \implies du' = 2 dx $$ $$ dv' = e^x dx \implies v' = e^x $$ $$ \int (2x + 2)e^x dx = (2x + 2)e^x - \int 2e^x dx $$ $$ = (2x + 2)e^x - 2e^x $$

Hapi 3: Zëvendësojmë rezultatin e Hapit 2 në rezultatin e Hapit 1.

$$ \int (x^2 + 2x - 1)e^x dx = (x^2 + 2x - 1)e^x - [(2x + 2)e^x - 2e^x] + C $$ $$ = (x^2 + 2x - 1)e^x - (2x + 2)e^x + 2e^x + C $$ $$ = e^x (x^2 + 2x - 1 - 2x - 2 + 2) + C $$ $$ = e^x (x^2 - 1) + C $$