Zgjidhja e ushtrimit 5

Supozojmë se nëse $ab$ është numër irracional, atëherë as $a$ dhe as $b$ nuk janë numra irracionalë. Shkruajmë $a$ dhe $b$ si numra racionalë: $a = \dfrac{c}{d}$ dhe $b = \dfrac{e}{f}$, ku ndryshoret $c$, $d$, $e$ dhe $f$ janë numra të plotë, dhe kemi $ab = \dfrac{ce}{df}$. Nga prodhimi i numrave të plotë marrim numra të plotë, ndaj $ce$ dhe $df$ janë numra të plotë, që do të thotë se $ab$ është numër racional. Kjo bie në kundërshtim me supozimin tonë, prandaj mund të themi se nëse $ab$ është numër irracional atëherë të paktën një nga numrat $a$ dhe $b$ është numër irracional.

Supozojmë se nëse $a+b$ është numër irracional, atëherë as $a$ dhe as $b$ nuk janë numra irracionalë. Shkruajmë $a$ dhe $b$ si numra racionalë: $a = \dfrac{c}{d}$ dhe $b = \dfrac{e}{f}$, ku ndryshoret $c$, $d$, $e$ dhe $f$ janë numra të plotë, dhe kemi $a + b = \dfrac{c}{d} + \dfrac{e}{f} = \dfrac{cf + de}{df}$. Nga prodhimi i numrave të plotë marrim numra të plotë, ndaj $cf$, $de$ dhe $df$ janë numra të plotë, që do të thotë se $a + b$ është numër racional. Kjo bie në kundërshtim me supozimin tonë, prandaj mund të themi se nëse $a+b$ është numër irracional atëherë të paktën një nga numrat $a$ dhe $b$ është numër irracional.