Zgjidhja e ushtrimit 8

Kemi ekuacionin: $sec^2 \theta = 3 tan \theta$

Duke përdorur identitetin $sec^2 \theta = 1 + tan^2 \theta$, ekuacioni bëhet:

$$1 + tan^2 \theta = 3 tan \theta$$

$$tan^2 \theta - 3 tan \theta + 1 = 0$$

Le të zëvendësojmë $x = tan \theta$. Ekuacioni bëhet një ekuacion kuadratik:

$$x^2 - 3x + 1 = 0$$

Zgjidhjet për $x$ janë:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Pra, $tan \theta = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ose $tan \theta = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

Për $tan \theta = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618$:

$\theta_1 = arctan\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) \approx 69.1^\circ$

$\theta_2 = 180^\circ + \theta_1 \approx 180^\circ + 69.1^\circ = 249.1^\circ$

Për $tan \theta = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382$:

$\theta_3 = arctan\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \approx 20.9^\circ$

$\theta_4 = 180^\circ + \theta_3 \approx 180^\circ + 20.9^\circ = 200.9^\circ$

Zgjidhjet në intervalin $0 \le \theta \le 360^\circ$ janë: $20.9^\circ, 69.1^\circ, 200.9^\circ, 249.1^\circ$.

Kemi ekuacionin: $tan^2 \theta - 2 sec \theta + 1 = 0$

Duke përdorur identitetin $tan^2 \theta = sec^2 \theta - 1$, ekuacioni bëhet:

$$(sec^2 \theta - 1) - 2 sec \theta + 1 = 0$$

$$sec^2 \theta - 2 sec \theta = 0$$

$$sec \theta (sec \theta - 2) = 0$$

Kjo na jep dy raste:

Rasti 1: $sec \theta = 0$. Kjo është e pamundur, pasi $sec \theta = \frac{1}{cos \theta}$, dhe $\frac{1}{cos \theta}$ nuk mund të jetë zero.

Rasti 2: $sec \theta - 2 = 0 \implies sec \theta = 2$

Kjo do të thotë $cos \theta = \frac{1}{2}$.

Në intervalin $-\pi \le \theta \le \pi$ (ose $-180^\circ \le \theta \le 180^\circ$):

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (ose $60^\circ$)

$\theta = -\frac{\pi}{3}$ (ose $-60^\circ$)

Zgjidhjet janë: $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$.