Zgjidhja e ushtrimit 6

Nga ekuacioni $ \arcsin x = k $, rrjedh $ x = \sin k $.

Duke ditur që $ 0 < k < \frac{\pi}{2} $, funksioni $\sin k$ është në rritje në këtë interval. Kështu:

$ \sin 0 < \sin k < \sin \frac{\pi}{2} $

$ 0 < x < 1 $

Bashkësia e vlerave të mundshme të $x$ është $ (0, 1) $.

Meqenëse $ \arcsin x = k $, ne dimë $ \sin k = x $.

i) Për të gjetur $ \cos k $, përdorim identitetin themelor trigonometrik $ \sin^2 k + \cos^2 k = 1 $.

$ \cos^2 k = 1 - \sin^2 k $

$ \cos^2 k = 1 - x^2 $

$ \cos k = \pm \sqrt{1 - x^2} $

Meqenëse $ 0 < k < \frac{\pi}{2} $, këndi $k$ ndodhet në kuadrantin e parë, ku kosinusi është pozitiv. Prandaj:

$ \cos k = \sqrt{1 - x^2} $

ii) Për të gjetur $ \tan k $, përdorim relacionin $ \tan k = \frac{\sin k}{\cos k} $.

$ \tan k = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} $