Zgjidhja e ushtrimit 9

Për të vërtetuar identitetin $arccos x = arcsin \sqrt{1 - x^2}$ për $0 \leq x \leq 1$, le të shqyrtojmë secilën anë.

Le të jetë $y = arccos x$. Kjo do të thotë që $cos y = x$.

Meqenëse $0 \leq x \leq 1$, vlera e $y$ do të jetë në intervalin $0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

Nga identiteti themelor trigonometrik $sin^2 y + cos^2 y = 1$, ne dimë se $sin^2 y = 1 - cos^2 y$.

Duke zëvendësuar $cos y = x$, marrim $sin^2 y = 1 - x^2$.

Meqenëse $0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}$, $sin y$ është jonegativ, kështu që $sin y = \sqrt{1 - x^2}$.

Duke marrë $arcsin$ në të dy anët, marrim $y = arcsin \sqrt{1 - x^2}$.

Pra, $arccos x = arcsin \sqrt{1 - x^2}$ është i vërtetë për $0 \leq x \leq 1$.

Ky rezultat nuk është i vërtetë për $-1 \leq x \leq 0$ për shkak të kufizimeve të vlerave të funksioneve $arccos$ dhe $arcsin$.

Për $x \in [-1, 0]$, $arccos x$ merr vlera në intervalin $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$. Kjo është përkufizimi i fushës së vlerave (range) për $arccos x$. Vlerat janë pozitive.

Nga ana tjetër, për funksionin $arcsin \sqrt{1 - x^2}$:

• Vlera e $\sqrt{1 - x^2}$ është gjithmonë jonegative, d.m.th., $\sqrt{1 - x^2} \geq 0$.