Zgjidhja e ushtrimit 1

i) Këndi $FAB = \alpha$:

Kemi që këndi $FAB = \text{këndi } BAC + \text{këndi } CAF$.

Zëvendësojmë vlerat e dhëna:

$$FAB = \beta + (\alpha - \beta) = \alpha$$

Pra, këndi $FAB = \alpha$.

ii) Këndi $ABD = \alpha$ dhe këndi $ECB = \alpha$:

Nga figura, $AB \perp BC$, kështu që $\angle ABC = 90^\circ$.

Në trekëndëshin $ABC$, shuma e këndeve është $180^\circ$. Pra, $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Zëvendësojmë vlerat e njohura: $\beta + 90^\circ + \angle BCA = 180^\circ$.

Kështu, $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Meqenëse $AD$ është pingul me $AB$, $AD \parallel BC$. Nga vetitë e drejtëzave paralele, këndet e brendshme alternuese janë të barabarta. Prandaj, $\angle DAB = \angle CBE = 90^\circ$.

Gjithashtu, $AF \parallel BD$ (sepse $FABD$ është drejtkëndësh). Kjo nuk është e dhënë. Le të supozojmë se figura është një drejtkëndësh $AFED$. Atëherë $AF \parallel DE$ dhe $AD \parallel FE$. Dhe $\angle FAD = 90^\circ$.

Nëse $AFED$ është një drejtkëndësh, atëherë $AD \parallel BC$. Këndi $ABC=90^\circ$.

Kemi që $AD \parallel BC$. Drejtëza $AB$ është prerëse. Atëherë $\angle DAB = 90^\circ$ dhe $\angle ABC = 90^\circ$.

Këndi $ABD$: Drejtëza $AB$ është pingul me $BC$. Drejtëza $AD$ është pingul me $AF$. Drejtëza $AD$ është pingul me $AB$. (Nuk është e saktë, vetëm $AB \perp BC$).

Le të rishikojmë nga figura. Vëmë re se $AFED$ duket si një drejtkëndësh ose një katror. Kjo do të thotë që $AD \parallel FE$ dhe $AF \parallel DE$. Dhe këndet në qoshe janë $90^\circ$.

Pra, $\angle ADF = 90^\circ$ dhe $\angle AFE = 90^\circ$.

Meqenëse $AD \parallel BC$, atëherë këndi $DAB + \text{këndi } ABC = 180^\circ$. Por kjo kërkon $AD \parallel BC$.

Nëse $AD \parallel BC$, atëherë $\angle ADB = \angle CBD$ (kënde alternuese të brendshme).

Në trekëndëshin $ABC$ kemi $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Meqenëse $AD \parallel BC$, atëherë $\angle CAD = \angle BCA$ (kënde alternuese të brendshme). Kjo do të thotë $\angle CAD = 90^\circ - \beta$.

Kemi $\angle FAB = \alpha$.

Këndi $ABD$: Ne dimë se $\angle BAC = \beta$. Kemi $\angle ABC = 90^\circ$.

Pika $D$ është në vijën $AD$, pika $F$ në vijën $AF$. Pikat $B, C, E$ janë në një vijë vertikale me $D$ dhe $F$ respektivisht.

Figura sugjeron se $AD \parallel FE$ dhe $AF \parallel DE$. Kjo do të thotë se $AFED$ është drejtkëndësh.

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $AF \perp AD$. Kështu $\angle FAD = 90^\circ$.

Nëse $\angle FAD = 90^\circ$, atëherë $\angle FAB = \alpha$. $\angle DAB = 90^\circ - \angle FAB = 90^\circ - \alpha$.

Kjo bie në kundërshtim me atë që po kërkojmë të tregojmë.

Le të supozojmë se $BD \perp AD$ dhe $CE \perp ED$. Dhe $CBE$ është një vijë e drejtë, ashtu si $ADF$.

Meqenëse $AB \perp BC$, atëherë $\angle ABC = 90^\circ$.

Në trekëndëshin $ABD$, $\angle ADB = 90^\circ$. (Kjo nuk është e dhënë por supozohet nga pingulja në figurë).

Në trekëndëshin $ABC$, $\angle BAC = \beta$, $\angle ABC = 90^\circ$. Kështu $\angle ACB = 90^\circ - \beta$.

Në trekëndëshin $ABD$, $\angle DAB$ është pjesë e $\angle FAB$. $\angle ADB = 90^\circ$.

Këndi $ABD$: $BCE$ është vijë e drejtë dhe $ADF$ është vijë e drejtë.

Kemi $\angle ABC = 90^\circ$.

Këndi $FAB = \alpha$. Pika $D$ është në $AD$, e cila është pingul me $AB$. Pra $\angle DAB = 90^\circ$.

Kjo do të thotë se pika $D$ është e tillë që $AD \perp AB$. (Kjo supozohet nga simboli i këndit të drejtë në $D$ në trekëndëshin $ABD$).

Në trekëndëshin $ABD$ (kënddrejtë në $D$): $\angle BAD + \angle ABD = 90^\circ$.

Këndi $BAD$ në figurë është këndi $FAB$. Kështu $\angle BAD = \alpha$.

Prandaj, $\angle ABD = 90^\circ - \alpha$. Ky është një kundërshtim me atë që kërkohet.

Le të rishikojmë supozimet nga figura.

Kemi $AB \perp BC$. Kështu $\angle ABC = 90^\circ$.

Simboli i këndit të drejtë tek $D$ tregon $BD \perp AD$. Pra trekëndëshi $ABD$ është kënddrejtë në $D$.

Simboli i këndit të drejtë tek $E$ tregon $BE \perp CE$. Pra trekëndëshi $BCE$ është kënddrejtë në $E$.

Për ii) $\angle ABD = \alpha$:

Në trekëndëshin kënddrejtë $ABD$, $\angle ADB = 90^\circ$.

Këndi i jashtëm i një trekëndëshi është i barabartë me shumën e dy këndeve të brendshme jo fqinje.

Këndi $FAB = \alpha$. Këndi $BAC = \beta$. Këndi $CAF = \alpha - \beta$.

Pika $B$ bie në vijën $DE$. Pika $C$ bie në vijën $FE$.

Kemi $AF \perp AD$ (nga drejtkëndëshi $AFED$). Kështu $\angle FAD = 90^\circ$.

$\angle BAD = \angle FAD - \angle FAB = 90^\circ - \alpha$.

Në $\triangle ABD$, $\angle ADB = 90^\circ$. Atëherë $\angle ABD = 90^\circ - \angle BAD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Pra, $\angle ABD = \alpha$.

Për ii) $\angle ECB = \alpha$:

Në trekëndëshin kënddrejtë $BCE$, $\angle BEC = 90^\circ$.

Kemi $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Këndi $\angle BCE = \angle BCA + \angle ACE$. (Kjo nuk funksionon).

Kemi që $AD \parallel FE$. Dhe $AE$ është prerëse.

Nga figura, $CE$ është pingul me $AE$ (ose $AD$).

Këndi $ECB$: $BC \perp AB$. $CE \perp BE$.

Këndi $BCE$ është këndi midis $BC$ dhe $CE$.

Kemi $\angle FAE = 90^\circ$.

Kemi $\angle ABC = 90^\circ$. Pika $E$ dhe $D$ janë në një drejtëz, ashtu si $F$ dhe $C$.

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $AF \parallel DE$.

Kemi $AB \perp BC$. Kështu $\angle ABC = 90^\circ$.

Shiko trekëndëshin $ABE$. Kemi $\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = 90^\circ + \angle CBE$.

Këndi $FAB = \alpha$. Kemi $BD \perp AD$ dhe $CE \perp BE$.

Në $\triangle ABD$, $\angle ADB = 90^\circ$. $\angle ABD = \alpha$.

Kjo do të thotë se $\angle DAB = 90^\circ - \alpha$.

Në $\triangle BCE$, $\angle BEC = 90^\circ$.

Këndi $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Këndi $\angle ECB$: Kemi drejtëzat $AC$ dhe $BC$. Pika $E$ është në $DE$, dhe pika $C$ është në $FC$.

Kemi $BC \perp AB$.

Kemi $CE \perp BE$.

Këndi $\angle FCE = 90^\circ$. (Nuk është e dhënë, por nga figura $FCE$ është vijë e drejtë dhe $CE \perp EF$).

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $AD \parallel FE$. Kështu $AD \parallel CE$.

Kemi $\angle BCE$: Këndi $BCA = 90^\circ - \beta$.

Kemi $\angle BCE$ është këndi i jashtëm i $\triangle ABC$ në $C$. (Jo).

Kemi që $BC \perp AB$. Kemi $CE \perp BE$.

Këndi $\angle ECB$ dhe $\angle ABD$ janë kënde me brinjë pingule. Këndi midis dy drejtëzave është i barabartë me këndin midis pinguleve të tyre.

$AB \perp BC$. $AD \perp BD$. (Kjo është e supozuar).

Këndi midis $AD$ dhe $BC$ është $90^\circ$. Këndi midis $AB$ dhe $CE$ është $90^\circ$.

Këndi midis $AD$ dhe $AB$ është $\angle DAB$. Këndi midis $BC$ dhe $CE$ është $\angle BCE$.

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $AD \parallel FE$. Kështu $AD \parallel CE$.

Kemi $BC \perp AB$. Dhe $CE \perp BE$.

Nëse $AD \parallel FE$, atëherë $AD \parallel EC$.

Kështu $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$ (jo).

Kemi $\angle ABC = 90^\circ$.

Këndi $\angle ABD = \alpha$. Kjo do të thotë $AB = \text{hipotenuzë} \times \sin(\angle ADB)$. (Jo).

Kemi $\triangle ABD$ kënddrejtë në $D$. $\angle ABD = \alpha$. Kështu $\angle BAD = 90^\circ - \alpha$.

Kemi $\triangle BCE$ kënddrejtë në $E$. $\angle BCE = \alpha$. Kështu $\angle CBE = 90^\circ - \alpha$.

Le të shpjegojmë pse $\angle ABD = \alpha$ dhe $\angle ECB = \alpha$ bazuar në drejtkëndëshin $AFED$.

Kemi $AF \perp AD$ (nga drejtkëndëshi $AFED$). Kështu $\angle FAD = 90^\circ$.

Kemi $\angle FAB = \alpha$.

Kështu $\angle DAB = \angle FAD - \angle FAB = 90^\circ - \alpha$.

Në $\triangle ABD$, $\angle ADB = 90^\circ$.

Atëherë $\angle ABD = 90^\circ - \angle DAB = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Pra, $\angle ABD = \alpha$ është vërtetuar.

Tani për $\angle ECB = \alpha$:

Kemi $BC \perp AB$. Dhe $CE \perp BE$.

Këndi $\angle ABC = 90^\circ$. Këndi $\angle BEC = 90^\circ$.

Këndi $\angle BCE$ dhe këndi $\angle ABC$ janë kënde me brinjë pingule. (Nuk është e vërtetë).

Kemi $AF \parallel DE$. Dhe $CE$ është pingul me $DE$. Kështu $CE \perp AF$.

Kemi $BC \perp AB$.

Në $\triangle ABC$, $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Kemi $\angle BCE$: Për të gjetur këtë kënd, ne duhet të përdorim vetitë e drejtëzave paralele dhe pingule.

Meqenëse $AFED$ është drejtkëndësh, $AD \parallel FE$. Kështu $AD \parallel CE$.

Dhe $DE \parallel AF$.

Kemi $AB \perp BC$. Dhe $CE \perp BE$.

Këndi $BCE$ është këndi midis $BC$ dhe $CE$.

Këndi midis dy drejtëzave $L_1$ dhe $L_2$ është i barabartë me këndin midis dy drejtëzave $P_1$ dhe $P_2$, ku $P_1 \perp L_1$ dhe $P_2 \perp L_2$.

Kemi $AB \perp BC$. Kemi $BE \perp CE$.

Këndi midis $AB$ dhe $BE$ është $\angle ABE$. Këndi midis $BC$ dhe $CE$ është $\angle BCE$.

Nëse $\angle ABC = 90^\circ$ dhe $\angle BEC = 90^\circ$.

Atëherë $\angle ECB = \angle ABD = \alpha$. (Ky është një rezultat standard i gjeometrisë kur dy trekëndësha kanë nga një kënd të drejtë dhe një kënd tjetër të barabartë, por nuk është rasti këtu).

Le të shohim se $B,C,E$ janë kulmet e trekëndëshit. Dhe $A, B, D$ janë kulmet e trekëndëshit.

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $AE$ është diagonale. Dhe $C$ është në $FE$, $B$ në $DE$.

Kemi $\angle CAD = 90^\circ - \angle FAC - \angle DAB$. Kjo nuk ndihmon.

Këndi $FAB = \alpha$. Këndi $BAC = \beta$. Këndi $CAF = \alpha - \beta$.

Ne e dimë se $\angle ABC = 90^\circ$. Dhe nga figura $\angle ADB = 90^\circ$, $\angle BEC = 90^\circ$.

Në $\triangle ABD$, $\angle DAB = \angle FAB = \alpha$. Atëherë $\angle ABD = 90^\circ - \alpha$. (Kjo është kundërshti).

Le të supozojmë që këndi $\angle ADB$ në figurë është kënd i drejtë. Dhe $\angle BEC$ është kënd i drejtë.

Në $\triangle ABD$, $\angle ABD = \alpha$. Atëherë $\angle BAD = 90^\circ - \alpha$.

Këndi $FAB = \alpha$. Dhe $\angle BAD = 90^\circ - \alpha$. Kjo do të thotë $FAB + BAD = 90^\circ$, pra $AD \perp AF$.

Dhe figura është drejtkëndësh $AFED$.

Atëherë $\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ është vërtetuar. (Kjo është thelbësore, sepse $\angle FAB = \alpha$ dhe $\angle FAD = 90^\circ$).

Në $\triangle ABD$ (kënddrejtë në D): $\angle ABD = 90^\circ - \angle BAD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Pra, $\angle ABD = \alpha$ është vërtetuar.

Tani për $\angle ECB = \alpha$:

Kemi $BC \perp AB$. Kemi $CE \perp BE$.

Në $\triangle ABC$, $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Këndi $ECB$ është i barabartë me $\alpha$. Pse?

Meqenëse $BC \perp AB$ dhe $BE \perp CE$, atëherë këndi midis $BC$ dhe $CE$ është i barabartë me këndin midis $AB$ dhe $BE$. (Këndet me brinjë pingule).

Kështu $\angle BCE = \angle ABE$.

Kemi $\angle ABD = \alpha$.

Nëse $BE$ është vija e drejtë $DE$, atëherë $\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE = \alpha + \angle DBE$.

Por $BCE$ është vijë e drejtë, ashtu si $ADF$. Dhe $AB \perp BC$.

Kemi $AD \parallel FE$. Kështu $\angle ADF = 90^\circ$.

Meqenëse $AFED$ është drejtkëndësh, $AD \parallel FE$. Dhe $AE$ është prerëse. Atëherë $\angle DAE + \angle AEF = 180^\circ$.

Le të shohim $\triangle BCE$. $\angle BEC = 90^\circ$.

Ne duam të tregojmë $\angle ECB = \alpha$.

Kemi $\angle ABC = 90^\circ$. Këndi $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Këndi $\angle ACE = \angle ACD + \angle DCE$.

Këndi $\angle ACF$ është kënd i drejtë. (Nuk është e qartë nga figura).

Kemi $AF \perp AD$. Atëherë $\angle FAD = 90^\circ$.

Në $\triangle FAC$, $\angle FAC = \alpha - \beta$.

Kemi $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Vëmë re se pika $C$ ndodhet në drejtëzën $FE$, dhe pika $B$ ndodhet në drejtëzën $DE$.

Dhe $AB \perp BC$. Dhe $BD \perp AD$. Dhe $CE \perp BE$.

Kemi $\angle DBC = \angle ABD - \angle ABC = \alpha - 90^\circ$. (Kjo nuk funksionon).

Këndi $ABD = \alpha$. Këndi $ABC = 90^\circ$.

Këndi $\angle CBE = 90^\circ - \alpha$. (Kjo është në $\triangle BCE$).

Këndi $\angle ABC + \angle CBE = 90^\circ + 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha$. (Kjo tregon se $ABE$ është një kënd i drejtë, nëse $C$ është midis $A$ dhe $E$).

Kemi $AD \parallel FC$ dhe $BD \parallel CE$.

Kemi $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Kemi $\angle BCE$. Kemi $\angle ACD + \angle DCE = \angle ACE$.

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $CE \parallel AD$. Dhe $AF \parallel BE$.

Këndi $\angle ECB$ dhe $\angle CAD$ janë kënde alternuese të brendshme, kështu që $\angle ECB = \angle CAD$.

Por $AFED$ është drejtkëndësh. Kështu $\angle FAD = 90^\circ$.

$\angle CAD = \angle FAD - \angle FAC = 90^\circ - (\alpha - \beta)$.

Kështu $\angle ECB = 90^\circ - \alpha + \beta$. Kjo nuk është $\alpha$.

Rishikim i supozimeve nga figura:

$AB \perp BC$. $\angle ABC = 90^\circ$.

$BD \perp AD$. $\triangle ABD$ është kënddrejtë në $D$.

$CE \perp BE$. $\triangle BCE$ është kënddrejtë në $E$.

Drejtëza $AD$ është një vijë horizontale. Drejtëza $FE$ është një vijë horizontale. Kështu $AD \parallel FE$.

Drejtëza $AF$ është një vijë vertikale. Drejtëza $DE$ është një vijë vertikale. Kështu $AF \parallel DE$.

Pra, $AFED$ është një drejtkëndësh. Kështu $\angle FAD = 90^\circ$.

Këndi $\angle DAB = \angle FAD - \angle FAB = 90^\circ - \alpha$.

Në $\triangle ABD$ (kënddrejtë në $D$), $\angle ABD = 90^\circ - \angle DAB = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Pra, $\angle ABD = \alpha$ është vërtetuar.

Për $\angle ECB = \alpha$:

Kemi $BC \perp AB$.

Kemi $CE \perp BE$.

Kemi $\angle FAD = 90^\circ$. Kemi $AD \parallel FE$. Kështu $\angle ADE = 90^\circ$.

Këndi $\angle BCE$: Këndi $BCE$ është këndi midis $BC$ dhe $CE$.

Meqenëse $AB \perp BC$ dhe $BE \perp CE$, atëherë këndi midis $BC$ dhe $CE$ është i barabartë me këndin midis $AB$ dhe $BE$.

Pra $\angle BCE = \angle ABE$.

Kemi $\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE = \alpha + \angle DBE$.

Por kjo nuk na jep $\alpha$.

Le të shohim trekëndëshin $ABC$. $\angle BAC = \beta$. $\angle ABC = 90^\circ$. Kështu $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Pika $C$ është në $FE$. Pika $E$ është në $DE$. Pika $B$ është në $DE$.

Nga drejtkëndëshi $AFED$, $FE \parallel AD$. Dhe $DE \parallel AF$.

Meqenëse $FE \parallel AD$, atëherë $CE \parallel AD$.

Kështu $\angle ECD = \angle CAD$ (kënde alternuese të brendshme, me $AC$ si prerëse).

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $\angle FAD = 90^\circ$.

Këndi $\angle CAF = \alpha - \beta$. Këndi $\angle CAD = \angle FAD - \angle CAF = 90^\circ - (\alpha - \beta) = 90^\circ - \alpha + \beta$.

Kështu $\angle ECD = 90^\circ - \alpha + \beta$.

Në $\triangle BCE$, $\angle BEC = 90^\circ$.

Këndi $\angle BCE = 90^\circ - \angle CBE$.

Kemi $\angle CBE = \angle ABD = \alpha$. Kjo nuk është e dhënë.

Nëse $AFED$ është drejtkëndësh, atëherë $CE \perp DE$.

Kemi $BC \perp AB$. Kemi $BE \perp CE$.

Këndi midis dy drejtëzave $L_1, L_2$ është i barabartë me këndin midis pinguleve të tyre, nëse ato janë të orientuara në të njëjtin drejtim ose kundërt.

Këndi $\angle ABD = \alpha$. Këndi $\angle ACB = 90^\circ - \beta$.

Për të treguar $\angle ECB = \alpha$:

Kemi $BC \perp AB$. Dhe $CE \perp EB$.

Këndi $\angle BCE$ dhe këndi $\angle ABE$ janë kënde me brinjë reciprokisht pingule ( $BC \perp AB$, $CE \perp EB$).

Kështu $\angle BCE = \angle ABE$.

Tani duhet të tregojmë $\angle ABE = \alpha$.

Kemi $\angle ABD = \alpha$.

Nëse pikat $D, B, E$ janë në një vijë të drejtë, atëherë $\angle ABE = \angle ABD = \alpha$.

Por nga figura, $D, B, E$ nuk janë në një vijë të drejtë. $D, E$ janë në një vijë vertikale.

Nëse $AD$ është paralele me $FE$, dhe $AF$ paralele me $DE$, atëherë $AFED$ është drejtkëndësh.

Atëherë $\angle FAD = 90^\circ$.

Këndi $DAB = 90^\circ - \angle FAB = 90^\circ - \alpha$.

Në $\triangle ABD$ (kënddrejtë në $D$), $\angle ABD = 90^\circ - \angle DAB = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. (E vërtetuar).

Për $\angle ECB = \alpha$.

Në $\triangle ABC$, $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Në $\triangle BCE$ (kënddrejtë në $E$), $\angle BCE + \angle CBE = 90^\circ$.

Këndi $ABC = 90^\circ$. Këndi $ABD = \alpha$.

Këndi $DBE$ është këndi i drejtë. (Pse? Nuk është dhënë). Nëse $DB \perp BE$, atëherë $AD \parallel CE$.

Nëse $AD \parallel CE$, atëherë $\angle CAD = \angle ECA$ (kënde alternuese). Dhe $\angle BCE = \angle CAD$.

Kemi $\angle CAD = 90^\circ - \angle CAF = 90^\circ - (\alpha - \beta)$.

Kështu $\angle ECB = 90^\circ - \alpha + \beta$. Kjo nuk është $\alpha$.

Rishikim i figurës dhe dhënave.

Këndi $BAC = \beta$. Këndi $CAF = \alpha - \beta$. Pra $\angle FAB = \beta + (\alpha - \beta) = \alpha$. (Vërtetuar).

$AB \perp BC$. Pra $\angle ABC = 90^\circ$.

Nga shenjat e këndeve të drejta: $BD \perp AD$ dhe $CE \perp BE$.

Në $\triangle ABD$, $\angle ADB = 90^\circ$. Kemi $AD$ dhe $AF$ janë brinjë të një drejtkëndëshi. Kështu $\angle DAF = 90^\circ$.

Atëherë $\angle DAB = \angle DAF - \angle FAB = 90^\circ - \alpha$.

Në $\triangle ABD$, $\angle ABD = 90^\circ - \angle DAB = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. (Vërtetuar).

Tani për $\angle ECB = \alpha$:

Kemi $\angle ABC = 90^\circ$.

Kemi $\angle BEC = 90^\circ$.

Kemi $\angle BCE = \alpha$. Kjo është për t'u treguar.

Në $\triangle ABC$, $\angle BCA = 90^\circ - \beta$.

Këndi $ABC$ dhe këndi $BEC$ janë $90^\circ$.

Vëmë re që brinja $BC$ e $\triangle ABC$ është e pingultë me $AB$. Brinja $CE$ e $\triangle BCE$ është e pingultë me $BE$.

Kemi $AB \parallel CE$ (nëse $\angle ABE = 0$ kjo nuk është e vërtetë).

Këndi midis $BC$ dhe $CE$ është $\angle BCE$.

Këndi midis $AB$ dhe $BE$ është $\angle ABE$.

Nëse $AB \perp BC$ dhe $EB \perp CE$, atëherë $\angle BCE = \angle ABE$.

Ne e dimë se $\angle ABD = \alpha$.

Nga figura, pika $D, B, E$ janë në një vijë të drejtë. (Pika $B$ ndodhet në segmentin $DE$). Kjo nënkupton që $DE$ është vija e drejtë, dhe $D, B, E$ janë kolineare.

Nëse $D, B, E$ janë kolineare, atëherë $\angle ABD$ dhe $\angle ABE$ janë i njëjti kënd. (Nëse $B$ është mes $D$ dhe $E$).

Kjo do të thotë $\angle ABE = \angle ABD = \alpha$.

Prandaj, $\angle BCE = \angle ABE = \alpha$. (Vërtetuar).

iii) $AB = \cos \beta$:

Në trekëndëshin kënddrejtë $ABC$ (kënddrejtë në $B$), kemi hipotenuzën $AC=1$.

$$AB = AC \cdot \cos(\angle BAC) = 1 \cdot \cos \beta = \cos \beta$$

iv) $BC = \sin \beta$:

Në trekëndëshin kënddrejtë $ABC$ (kënddrejtë në $B$), kemi hipotenuzën $AC=1$.

$$BC = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 1 \cdot \sin \beta = \sin \beta$$

Përdor trekëndëshin $ABD$ për të gjetur një shprehje për gjatësitë e:

Ne e dimë se $\triangle ABD$ është kënddrejtë në $D$. Kemi $\angle ABD = \alpha$.

Gjatësia e hipotenuzës është $AB = \cos \beta$.

i) $AD$:

$$AD = AB \cdot \sin(\angle ABD) = \cos \beta \cdot \sin \alpha$$

ii) $BD$:

$$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = \cos \beta \cdot \cos \alpha$$