Pyetja
Një vijë ka ekuacione parametrike
$x = \tan^2 t + 5$, $y = 5 \sin t$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$
- Gjej ekuacionin Kartezian të vijës të shprehur në trajtën $y^2 = f(x)$.
- Përcakto vlerat e mundshme të $x$ dhe $y$ për vlera të dhëna të $t$.
Zgjidhja
Nga $y = 5 \sin t$, kemi $\sin t = \frac{y}{5}$.
Meqenëse $0 < t < \frac{\pi}{2}$, $\sin t > 0$, pra $y > 0$.
Gjithashtu, $0 < \sin t < 1$, kështu që $0 < \frac{y}{5} < 1$, pra $0 < y < 5$.
Përdorim identitetin $\sec^2 t = 1 + \tan^2 t$.
Ne dimë se $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, kështu $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{y}{5}\right)^2 = 1 - \frac{y^2}{25} = \frac{25 - y^2}{25}$.
Atëherë $\sec^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} = \frac{25}{25 - y^2}$.
Nga $x = \tan^2 t + 5$, kemi $\tan^2 t = x - 5$.
Zëvendësojmë këtë në identitetin $\sec^2 t = 1 + \tan^2 t$:
$\frac{25}{25 - y^2} = 1 + (x - 5)$
$\frac{25}{25 - y^2} = x - 4$
$\frac{25 - y^2}{25} = \frac{1}{x - 4}$
$25 - y^2 = \frac{25}{x - 4}$
$y^2 = 25 - \frac{25}{x - 4}$
$y^2 = 25 \left(1 - \frac{1}{x - 4}\right)$
$y^2 = 25 \left(\frac{x - 4 - 1}{x - 4}\right)$
$y^2 = \frac{25(x - 5)}{x - 4}$
Edhe 1 hap deri te përgjigjja
Hapi i fundit është falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 2, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.