Pyetja
Një lojtar gjuan topin e futbollit (që në momentin fillestar ndodhet në tokë) me një shpejtësi fillestare $20\text{ m s}^{-1}$ dhe sipas një drejtimi që formon një kënd $30^\circ$ me drejtimin horizontal. Vendndodhja e topit pas $t$ sekondash modelohet me anë të ekuacioneve të mëposhtme parametrike:
$x = 10\sqrt{3}t \text{ m}, \quad y = (-4.9t^2 + 10t) \text{ m}, \quad 0 \le t \le k$
- Gjeni distancën e përshkuar në drejtim horizontal nga momenti që hidhet topi deri kur takon tokën. Një lojtar dëshiron ta gjuan topin me kokë në një moment kohor kur topi ndodhet në ajër në një distancë jo më të vogël se $1.5\text{ m}$ dhe jo më të madhe se $2.5\text{ m}$ nga pozicioni fillestar.
- Gjej intervalin e kohës (nga pozicioni fillestar) në të cilin lojtari i dytë mund ta gjuan topin me kokë.
- Gjej distancën më të vogël nga momenti fillestar në të cilën lojtari i dytë mund të realizojë goditjen me kokë të topit.
Zgjidhja
Për të gjetur distancën e përshkuar në drejtim horizontal deri kur topi takon tokën, duhet të gjejmë kohën kur topi takon tokën. Kjo ndodh kur $y=0$ (dhe $t \ne 0$).
$y = -4.9t^2 + 10t = 0$
$t(-4.9t + 10) = 0$
Një zgjidhje është $t=0$ (momenti fillestar). Zgjidhja tjetër është kur $-4.9t + 10 = 0$:
$4.9t = 10$
$t = \frac{10}{4.9} \approx 2.04 \text{ s}$
Tani zëvendësojmë këtë vlerë të $t$ në ekuacionin e $x$ për të gjetur distancën horizontale:
$x = 10\sqrt{3} \left(\frac{10}{4.9}\right) = \frac{100\sqrt{3}}{4.9} \approx \frac{173.205}{4.9} \approx 35.35 \text{ m}$
Distanca e përshkuar në drejtim horizontal është afërsisht $35.35 \text{ m}$.
Lojtari dëshiron të godasë topin me kokë kur topi ndodhet në ajër në një lartësi $y$ që plotëson kushtin $1.5 \le y \le 2.5 \text{ m}$.
Duhet të zgjidhim dy inekuacione:
I. $y \ge 1.5$
$-4.9t^2 + 10t \ge 1.5$
$-4.9t^2 + 10t - 1.5 \ge 0$
$4.9t^2 - 10t + 1.5 \le 0$
Për të gjetur rrënjët e ekuacionit $4.9t^2 - 10t + 1.5 = 0$ përdorim formulën kuadratike:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(4.9)(1.5)}}{2(4.9)}$
$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 29.4}}{9.8}$
$t = \frac{10 \pm \sqrt{70.6}}{9.8}$
$t_1 = \frac{10 - \sqrt{70.6}}{9.8} \approx \frac{10 - 8.402}{9.8} \approx \frac{1.598}{9.8} \approx 0.163 \text{ s}$
$t_2 = \frac{10 + \sqrt{70.6}}{9.8} \approx \frac{10 + 8.402}{9.8} \approx \frac{18.402}{9.8} \approx 1.878 \text{ s}$
Meqenëse parabola $4.9t^2 - 10t + 1.5$ hapet lart (koeficienti i $t^2$ është pozitiv), inekuacioni $4.9t^2 - 10t + 1.5 \le 0$ plotësohet për $t \in [t_1, t_2]$. Pra, $t \in [0.163, 1.878]$.
II. $y \le 2.5$
$-4.9t^2 + 10t \le 2.5$
$-4.9t^2 + 10t - 2.5 \le 0$
$4.9t^2 - 10t + 2.5 \ge 0$
Për të gjetur rrënjët e ekuacionit $4.9t^2 - 10t + 2.5 = 0$:
$t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(4.9)(2.5)}}{2(4.9)}$
$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 49}}{9.8}$
$t = \frac{10 \pm \sqrt{51}}{9.8}$
$t_3 = \frac{10 - \sqrt{51}}{9.8} \approx \frac{10 - 7.141}{9.8} \approx \frac{2.859}{9.8} \approx 0.292 \text{ s}$
$t_4 = \frac{10 + \sqrt{51}}{9.8} \approx \frac{10 + 7.141}{9.8} \approx \frac{17.141}{9.8} \approx 1.749 \text{ s}$
Meqenëse parabola $4.9t^2 - 10t + 2.5$ hapet lart, inekuacioni $4.9t^2 - 10t + 2.5 \ge 0$ plotësohet për $t \in (-\infty, t_3] \cup [t_4, \infty)$. Pra, $t \in [0, 0.292] \cup [1.749, 2.04]$ (duke marrë parasysh $0 \le t \le k \approx 2.04$).
Për të gjetur intervalin e kohës ku plotësohen të dyja kushtet, duhet të gjejmë prerjen e intervaleve:
$[0.163, 1.878] \cap ([0, 0.292] \cup [1.749, 2.04]) = [0.163, 0.292] \cup [1.749, 1.878]$
Intervali i kohës është $t \in [0.163, 0.292] \cup [1.749, 1.878]$ sekonda.
Edhe 1 hap deri te përgjigjja
Hapi i fundit është falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.