Zgjidhja e ushtrimit 1

Përkufizimi i derivatit është:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Duke zëvendësuar $f(x) = \cos x$, marrim:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$$

Duke përdorur formulën e shumës së kosinusit $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, kemi:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$$

Ndajmë shprehjen në dy terma:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\left(\frac{\cos x \cos h - \cos x}{h} - \frac{\sin x \sin h}{h}\right)$$

Faktorizojmë $\cos x$ nga termi i parë:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\left(\frac{\cos x (\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \sin h}{h}\right)$$

Duke përdorur vetitë e limitit, e ndajmë limitin:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\left[\left(\frac{\cos h - 1}{h}\right)\cos x - \left(\frac{\sin h}{h}\right)\sin x\right]$$

Kështu, shprehja është vërtetuar.