Pyetja
Një nxënës po përpiqet të gjejë pikat e infleksionit në vijën $C$ me ekuacion
$y = (x - 5)^4$
Veprimet e tij janë treguar më poshtë:
$\frac{dy}{dx} = 4(x - 5)^3$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 12(x - 5)^2$
Kur $\frac{d^2y}{dx^2} = O$,
$12(x - 5)^2 = O$
$(x - 5)^2 = O$
$x - 5 = O$
$x = 5$
Rrjedhimisht, vija $C$ ka një pikë infleksioni në $x = 5$.
- Gjej gabimin që ka bërë nxënësi.
- Gjej koordinatat e pikës stacionare në $C$ dhe përcakto natyrën e saj.
Zgjidhja
Gabimi që ka bërë nxënësi është supozimi se $x=5$ është një pikë infleksioni vetëm sepse derivati i dytë është zero në atë pikë. Për të qenë pikë infleksioni, duhet të ketë ndryshim të shenjës së derivatit të dytë rreth pikës. Në këtë rast, $d^2y/dx^2 = 12(x-5)^2 \ge 0$ për të gjitha vlerat e $x$. Kjo do të thotë se derivati i dytë nuk ndryshon shenjë në $x=5$. Rrjedhimisht, $x=5$ nuk është një pikë infleksioni.
Për të gjetur pikat stacionare, vendosim derivatin e parë të barabartë me zero:
$$ \frac{dy}{dx} = 4(x - 5)^3 = 0 $$Nga kjo marrim:
$$ (x - 5)^3 = 0 $$ $$ x - 5 = 0 $$ $$ x = 5 $$Tani zëvendësojmë $x=5$ në ekuacionin origjinal për të gjetur koordinatën $y$:
$$ y = (5 - 5)^4 = 0^4 = 0 $$Pra, pika stacionare është $(5, 0)$.
Për të përcaktuar natyrën e pikës stacionare, përdorim testin e derivatit të dytë ose testin e derivatit të parë. Më lart gjetëm $d^2y/dx^2 = 12(x - 5)^2$. Në $x=5$, $d^2y/dx^2 = 12(5 - 5)^2 = 0$. Meqenëse derivati i dytë është zero, testi i derivatit të dytë është i papërfytyeshëm, kështu që përdorim testin e derivatit të parë.
Marrim vlera të $x$ rreth $x=5$ dhe shqyrtojmë shenjën e $dy/dx$:
- Nëse $x < 5$ (p.sh., $x=4$): $dy/dx = 4(4 - 5)^3 = 4(-1)^3 = -4$. Pra, $dy/dx < 0$.
Edhe 1 hap deri te përgjigjja
Hapi i fundit është falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.