Pyetja
- Vërteto se çdo vijë kubike ka vetëm një pikë infleksioni.
- Vija ka ekuacion . a) Trego se ka të shumtën dy pika infleksioni. b) Vërteto se në qoftë se , atëherë vija nuk ka pika infleksioni.
Zgjidhja
1
Për të vërtetuar se çdo vijë kubike ka vetëm një pikë infleksioni, marrim një funksion kubik të përgjithshëm:
$$y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D, \quad A \ne 0$$Gjejmë derivatin e parë:
$$\frac{dy}{dx} = 3Ax^2 + 2Bx + C$$Gjejmë derivatin e dytë:
$$\frac{d^2y}{dx^2} = 6Ax + 2B$$Pikat e infleksionit gjenden aty ku $ \frac{d^2y}{dx^2} = 0 $. Pra:
$$6Ax + 2B = 0$$ $$6Ax = -2B$$ $$x = -\frac{2B}{6A} = -\frac{B}{3A}$$Meqenëse $A \ne 0$, kjo ekuacion ka gjithmonë një zgjidhje të vetme për $x$. Për këtë vlerë të $x$, shenja e $ \frac{d^2y}{dx^2} $ ndryshon nga njëra anë në tjetrën, duke konfirmuar se është një pikë infleksioni. Prandaj, çdo vijë kubike ka vetëm një pikë infleksioni.
Edhe 1 hap deri te përgjigjja
Hapi i fundit është falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 2, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
4.8/5100,000+ shkarkimePa pagesë, gjithmonë
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.