Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)
Zgjidhje ushtrimi

Zgjidhja e ushtrimit 7

Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 8C në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Mediaprint me autorë Greg Attwood, Jack Barraclough, Ian Bettison, Keith Gallick, Daniel Goldberg, Anne McAteer, Alistair Macpherson, Bronwen Moran, Joe Petran, Keith Bledger, Cong San, Harry Smith, Geoff Staley dhe Dave Wilkins.

Pyetja

  1. Trego se $\cos^4 x \equiv \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{3}{8}$
  2. Prej këndej, gjej vlerën e saktë të $\int \cos^4 x dx$.

Zgjidhja

1

Për të treguar identitetin $\cos^4 x \equiv \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{3}{8}$, do të nisemi nga ana e majtë dhe do të përdorim identitetet trigonometrike:

$$ \cos^4 x = (\cos^2 x)^2 $$

Dimë që $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. Zëvendësojmë:

$$ \cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 $$
$$ \cos^4 x = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x) $$

Përsëri, përdorim identitetin $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ për $\cos^2 2x$ (ku $A=2x$, pra $2A=4x$):

$$ \cos^4 x = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}\right) $$

Shumëzojmë brenda kllapave:

$$ \cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}\cos 2x + \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2} $$
$$ \cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}(1 + \cos 4x) $$
$$ \cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x $$

Mbledhim termat konstantë:

$$ \cos^4 x = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x $$
$$ \cos^4 x = \left(\frac{2}{8} + \frac{1}{8}\right) + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x $$
$$ \cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x $$

Renditim termat sipas kërkesës:

$$ \cos^4 x \equiv \frac{1}{8}\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{8} $$

Kjo vërteton identitetin.

2

Për të gjetur $\int \cos^4 x dx$, do të përdorim identitetin e vërtetuar në pjesën (a):

$$ \int \cos^4 x dx = \int \left(\frac{1}{8}\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{8}\right) dx $$

Integrali i shumës është shuma e integraleve:

$$ \int \cos^4 x dx = \int \frac{1}{8}\cos 4x dx + \int \frac{1}{2}\cos 2x dx + \int \frac{3}{8} dx $$

Integrimi i secilit term:

  • $\int \frac{1}{8}\cos 4x dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin 4x}{4} = \frac{1}{32}\sin 4x$

Edhe 2 hapa deri te përgjigjja

Hapat e tjerë janë falas në aplikacion

Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.

4,8/5100.000+ shkarkimeFalas për nxënësit
Shkarko nëApp Store
Merr nëGoogle Play

Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.

Vazhdo në aplikacion