Zgjidhja e ushtrimit 4

Për të zgjidhur integralin $\int_0^{\ln 2} xe^{2x} \text{ dx}$, përdorim integrimin me pjesë $\int u \text{ dv} = uv - \int v \text{ du}$.

Zgjedhim $u = x$ dhe $\text{dv} = e^{2x} \text{ dx}$.

Atëherë $\text{du} = \text{ dx}$ dhe $v = \int e^{2x} \text{ dx} = \frac{1}{2}e^{2x}$.

Integrali bëhet:

$$ \left[ x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^{\ln 2} - \int_0^{\ln 2} \frac{1}{2}e^{2x} \text{ dx} $$

$$ = \left[ \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} \right]_0^{\ln 2} $$

Zëvendësojmë kufijtë:

$$ = \left( \frac{1}{2}(\ln 2)e^{2\ln 2} - \frac{1}{4}e^{2\ln 2} \right) - \left( \frac{1}{2}(0)e^{0} - \frac{1}{4}e^{0} \right) $$

Meqenëse $e^{2\ln 2} = e^{\ln(2^2)} = e^{\ln 4} = 4$:

$$ = \left( \frac{1}{2}(\ln 2)(4) - \frac{1}{4}(4) \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) $$

$$ = (2\ln 2 - 1) - \left( -\frac{1}{4} \right) $$

$$ = 2\ln 2 - 1 + \frac{1}{4} = 2\ln 2 - \frac{3}{4} $$

Për të zgjidhur integralin $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \text{ dx}$, përdorim integrimin me pjesë $\int u \text{ dv} = uv - \int v \text{ du}$.

Zgjedhim $u = x$ dhe $\text{dv} = \sin x \text{ dx}$.

Atëherë $\text{du} = \text{ dx}$ dhe $v = \int \sin x \text{ dx} = -\cos x$.

Integrali bëhet:

$$ \left[ x (-\cos x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) \text{ dx} $$

$$ = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

Zëvendësojmë kufijtë:

$$ = \left( -\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( -0 \cos(0) + \sin(0) \right) $$

$$ = \left( -\frac{\pi}{2}(0) + 1 \right) - (0 + 0) $$

$$ = 1 $$