Zgjidhja e ushtrimit 2

Për $f(x) = \frac{4x - 1}{(x + 2)(2x + 1)^{2}}$, $a = 0$, $b = 2$

Fillimisht dekompozojmë thyesën racionale:

$$ \frac{4x - 1}{(x + 2)(2x + 1)^{2}} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{2x + 1} + \frac{C}{(2x + 1)^{2}} $$

Duke zgjidhur për $A$, $B$, $C$ marrim:

$$ 4x - 1 = A(2x + 1)^{2} + B(x + 2)(2x + 1) + C(x + 2) $$

Për $x = -2$: $4(-2) - 1 = A(2(-2) + 1)^{2} \Rightarrow -9 = A(-3)^{2} \Rightarrow -9 = 9A \Rightarrow A = -1$

Për $x = -\frac{1}{2}$: $4(-\frac{1}{2}) - 1 = C(-\frac{1}{2} + 2) \Rightarrow -2 - 1 = C(\frac{3}{2}) \Rightarrow -3 = \frac{3}{2}C \Rightarrow C = -2$

Për $x = 0$: $-1 = A(1)^{2} + B(2)(1) + C(2) \Rightarrow -1 = A + 2B + 2C$

Zëvendësojmë $A = -1$ dhe $C = -2$:

$$ -1 = -1 + 2B + 2(-2) \Rightarrow -1 = -1 + 2B - 4 \Rightarrow -1 = 2B - 5 \Rightarrow 4 = 2B \Rightarrow B = 2 $$

Pra, integrali bëhet:

$$ \int_{0}^{2} \left( \frac{-1}{x + 2} + \frac{2}{2x + 1} + \frac{-2}{(2x + 1)^{2}} \right) dx $$ $$ = \left[ -\ln|x + 2| + \ln|2x + 1| + \frac{1}{2x + 1} \right]_{0}^{2} $$ $$ = \left( -\ln(4) + \ln(5) + \frac{1}{5} \right) - \left( -\ln(2) + \ln(1) + \frac{1}{1} \right) $$ $$ = -\ln(4) + \ln(5) + \frac{1}{5} + \ln(2) - 1 $$ $$ = \ln\left(\frac{5 \cdot 2}{4}\right) + \frac{1}{5} - 1 = \ln\left(\frac{5}{2}\right) - \frac{4}{5} $$

Për $f(x) = \frac{x}{(x + 1)^{2}}$, $a = 0$, $b = 2$

Dekompozojmë thyesën racionale:

$$ \frac{x}{(x + 1)^{2}} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^{2}} $$ $$ x = A(x + 1) + B $$

Për $x = -1$: $-1 = B$

Për $x = 0$: $0 = A + B \Rightarrow 0 = A - 1 \Rightarrow A = 1$

Integrali bëhet:

$$ \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} \right) dx $$ $$ = \left[ \ln|x + 1| + \frac{1}{x + 1} \right]_{0}^{2} $$ $$ = \left( \ln(3) + \frac{1}{3} \right) - \left( \ln(1) + \frac{1}{1} \right) $$ $$ = \ln(3) + \frac{1}{3} - 1 = \ln(3) - \frac{2}{3} $$