Zgjidhja e ushtrimit 8

Për të skicuar grafikët dhe gjetur pikat e prerjes, barazojmë funksionet:

$$f(x) = g(x)$$ $$x^2 = 3x - x^2$$ $$2x^2 - 3x = 0$$ $$x(2x - 3) = 0$$

Kjo jep dy zgjidhje për $x$:

$$x_1 = 0$$ $$x_2 = \frac{3}{2}$$

Gjejmë vlerat për $y$ duke zëvendësuar $x$ në $f(x)$ (ose $g(x)$):

Për $x_1 = 0$:

$$y_1 = f(0) = 0^2 = 0$$

Pika e parë e prerjes është $(0, 0)$.

Për $x_2 = \frac{3}{2}$:

$$y_2 = f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$

Pika e dytë e prerjes është $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$.

Për skicën:

• $y = x^2$ është një parabolë që hapet lart me kulm në $(0,0)$.

$y = 3x - x^2 = -x^2 + 3x$ është një parabolë që hapet poshtë. Për të gjetur kulmin e saj: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2}$$ $$y_v = 3\left(\frac{3}{2}\right) - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{18}{4} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$$ Kulmi i $y = g(x)$ është $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$. Kjo është gjithashtu një nga pikat e prerjes, gjë që ka kuptim pasi në atë pikë dy funksionet janë tangente ose funksioni $g(x)$ prek funksionin $f(x)$. Pika tjetër e prerjes është origjina $(0,0)$.