Zgjidhja e ushtrimit 1

Për të derivuar funksionin $y = 3x^3$ në pikën $(1, 3)$ duke përdorur përkufizimin:

Derivati i një funksioni $f(x)$ në një pikë $x=a$ jepet nga:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Këtu $f(x) = 3x^3$ dhe $a=1$.

$$f(a) = f(1) = 3(1)^3 = 3$$ $$f(a+h) = f(1+h) = 3(1+h)^3$$

Zëvendësojmë në formulë:

$$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3(1+h)^3 - 3}{h}$$ $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3(1 + 3h + 3h^2 + h^3) - 3}{h}$$ $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3 + 9h + 9h^2 + 3h^3 - 3}{h}$$ $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{9h + 9h^2 + 3h^3}{h}$$ $$f'(1) = \lim_{h \to 0} (9 + 9h + 3h^2)$$

Kur $h \to 0$, kufiri është:

$$f'(1) = 9 + 9(0) + 3(0)^2 = 9$$

Për të derivuar funksionin $y = x^3 + 1$ në $x = -1$ duke përdorur përkufizimin:

Këtu $f(x) = x^3 + 1$ dhe $a = -1$.

$$f(a) = f(-1) = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$$ $$f(a+h) = f(-1+h) = (-1+h)^3 + 1$$ $$f(a+h) = ((-1)^3 + 3(-1)^2h + 3(-1)h^2 + h^3) + 1$$ $$f(a+h) = (-1 + 3h - 3h^2 + h^3) + 1$$ $$f(a+h) = 3h - 3h^2 + h^3$$

Zëvendësojmë në formulë:

$$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(3h - 3h^2 + h^3) - 0}{h}$$ $$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{h(3 - 3h + h^2)}{h}$$ $$f'(-1) = \lim_{h \to 0} (3 - 3h + h^2)$$

Kur $h \to 0$, kufiri është:

$$f'(-1) = 3 - 3(0) + (0)^2 = 3$$