Kopertina e librit Matematika 12
Zgjidhje ushtrimi

Zgjidhja e ushtrimit 10

Zgjidhja e ushtrimit 10 të mësimit Përmbledhje dhe përsëritje 4 në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Pyetja

  1. Njehsoni syprinën e zonës së kufizuar nga vija yy = xx2 - 7xx + 10, boshti OxOx dhe drejtëzat xx = 2 dhe xx = 5. Argumentoni përgjigjen.
  2. Njehsoni syprinën e zonës së kufizuar nga vija yy = xx2 - 5xx + 6, boshti OxOx dhe drejtëzat xx = 2 dhe xx = 3. Argumentoni përgjigjen.
  3. Njehsoni syprinën e zonës së kufizuar nga vija yy = 27 - xx3, boshti OxOx dhe boshti OyOy. Argumentoni përgjigjen.

Zgjidhja

1

Për të njehsuar syprinën e zonës, përdorim integralin e caktuar. Së pari, gjejmë pikat e prerjes së vijës $y = x^2 - 7x + 10$ me boshtin $Ox$ ($y=0$).

$$x^2 - 7x + 10 = 0$$ $$(x-2)(x-5) = 0$$ $$x_1 = 2, \quad x_2 = 5$$

Kufijtë e integrimit janë $x=2$ dhe $x=5$. Vëmë re që në intervalin $(2, 5)$, p.sh. për $x=3$, kemi $y = 3^2 - 7(3) + 10 = 9 - 21 + 10 = -2$. Pra, funksioni është negativ në këtë interval. Syprina njehsohet si:

$$A = \int_2^5 |x^2 - 7x + 10| dx = \int_2^5 -(x^2 - 7x + 10) dx$$ $$A = \int_2^5 (-x^2 + 7x - 10) dx$$ $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \right]_2^5$$ $$A = \left( -\frac{5^3}{3} + \frac{7(5^2)}{2} - 10(5) \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{7(2^2)}{2} - 10(2) \right)$$ $$A = \left( -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \right) - \left( -\frac{8}{3} + \frac{28}{2} - 20 \right)$$ $$A = \left( -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 14 - 20 \right)$$ $$A = \left( -\frac{250 + 525 - 300}{6} \right) - \left( -\frac{8}{3} - 6 \right)$$ $$A = \left( \frac{-25}{6} \right) - \left( \frac{-8 - 18}{3} \right)$$ $$A = -\frac{25}{6} - \left( -\frac{26}{3} \right)$$ $$A = -\frac{25}{6} + \frac{52}{6}$$ $$A = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

Syprina është $A = \frac{9}{2}$ njësi katrore.

2

Për të njehsuar syprinën e zonës, përdorim integralin e caktuar. Së pari, gjejmë pikat e prerjes së vijës $y = x^2 - 5x + 6$ me boshtin $Ox$ ($y=0$).

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$(x-2)(x-3) = 0$$ $$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$

Kufijtë e integrimit janë $x=2$ dhe $x=3$. Vëmë re që në intervalin $(2, 3)$, p.sh. për $x=2.5$, kemi $y = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$. Pra, funksioni është negativ në këtë interval. Syprina njehsohet si:

$$A = \int_2^3 |x^2 - 5x + 6| dx = \int_2^3 -(x^2 - 5x + 6) dx$$ $$A = \int_2^3 (-x^2 + 5x - 6) dx$$ $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x \right]_2^3$$ $$A = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{5(3^2)}{2} - 6(3) \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{5(2^2)}{2} - 6(2) \right)$$ $$A = \left( -\frac{27}{3} + \frac{45}{2} - 18 \right) - \left( -\frac{8}{3} + \frac{20}{2} - 12 \right)$$ $$A = \left( -9 + \frac{45}{2} - 18 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 10 - 12 \right)$$ $$A = \left( \frac{-18 + 45 - 36}{2} \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right)$$ $$A = \left( \frac{-9}{2} \right) - \left( \frac{-8 - 6}{3} \right)$$ $$A = -\frac{9}{2} - \left( -\frac{14}{3} \right)$$ $$A = -\frac{9}{2} + \frac{14}{3}$$ $$A = \frac{-27 + 28}{6}$$ $$A = \frac{1}{6}$$

Syprina është $A = \frac{1}{6}$ njësi katrore.

Edhe 1 hap deri te përgjigjja

Hapi i fundit është falas në aplikacion

Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.

4,8/5100.000+ shkarkimeFalas për nxënësit
Shkarko nëApp Store
Merr nëGoogle Play

Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.

Vazhdo në aplikacion