Zgjidhja e ushtrimit 50

Për të zgjidhur ekuacionin $g(x) = 0$, fillimisht gjejmë rrënjët e polinomit:

$$x^3 - 9x^2 + 11x + 21 = 0$$

Provë me vlerat e plotë pjesëtuese të termit të lirë 21 ($\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$):

Për $x = -1$:

$$g(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 11(-1) + 21 = -1 - 9 - 11 + 21 = 0$$

Pra, $x = -1$ është një rrënjë. Kjo do të thotë që $(x+1)$ është faktor i $g(x)$.

Pjestojmë $g(x)$ me $(x+1)$ (përdorim pjestimin sintetik):

Faktorizimi është $g(x) = (x+1)(x^2 - 10x + 21)$.

Tani zgjidhim ekuacionin kuadratik $x^2 - 10x + 21 = 0$:

$$(x-3)(x-7) = 0$$

Rrënjët e tjera janë $x = 3$ dhe $x = 7$.

Rrënjët e ekuacionit $g(x) = 0$ janë $x_1 = -1$, $x_2 = 3$, dhe $x_3 = 7$.

Syprina e figurës së kufizuar nga vija $y = g(x)$ dhe boshti $Ox$ ndërmjet rrënjëve jepet nga integrali i caktuar i vlerës absolute të $g(x)$:

$$A = \int_{-1}^{7} |g(x)| dx$$

Analizojmë shenjën e $g(x)$ në intervalet e përcaktuara nga rrënjët:

• Për $x \in (-1, 3)$, zgjedhim $x=0$: $g(0) = (0+1)(0-3)(0-7) = 21 > 0$.