Zgjidhja e ushtrimit Sfidë

Gjatësitë e sakta:

i) Në trekëndëshin kënddrejtë $ADE$ (kënddrejtë në $E$ sepse $CD$ është lartësi):

$$AE = DE = 1$$ $$AD^2 = AE^2 + DE^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$$ $$AD = \sqrt{2}$$

Në trekëndëshin kënddrejtë $AEC$ (kënddrejtë në $E$):

Këndi $ACD = 30^\circ$. Këndi $BAC = 45^\circ$. Këndi $EAC = 45^\circ$.

$$\tan(45^\circ) = \frac{CE}{AE} = \frac{CE}{1}$$ $$CE = \tan(45^\circ) \cdot 1 = 1$$

ii) Në trekëndëshin kënddrejtë $AEC$ (kënddrejtë në $E$):

Këndi $ECA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Në trekëndëshin $DEC$ (kënddrejtë në $E$):

$$DE = 1, CE = 1$$ $$DC^2 = DE^2 + CE^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$$ $$DC = \sqrt{2}$$

iii) Në trekëndëshin $ABC$ (kënddrejtë në $C$, dybrinjënjëshëm):

$$AC = BC$$

Në trekëndëshin $AEC$ (kënddrejtë në $E$):

$$AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

Pra,

$$BC = AC = \sqrt{2}$$

iv) Për të gjetur $DB$, mund të përdorim Teoremën e Kosinusit në trekëndëshin $DCB$.

Këndi $ACB = 90^\circ$. Këndi $ACD = 30^\circ$.

Këndi $BCD = ACB - ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Në trekëndëshin $DCB$ kemi $DC = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{2}$.

Duke qenë se dy brinjë janë të barabarta dhe këndi ndërmjet tyre është $60^\circ$, trekëndëshi $DCB$ është barabrinjës.

Prandaj,

$$DB = DC = BC = \sqrt{2}$$

Masa e këndit $BCD$:

Këndi $BCD = \angle ACB - \angle ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.