Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit Sfidë

Zgjidhja e ushtrimit Sfidë të mësimit 3B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Mediaprint me autorë Greg Attwood, Jack Barraclough, Ian Bettison, Alistair Macpherson, Bronwen Moran, Su Nicholson, Diane Oliver, Joe Petran, Keith Bledger, Harry Smith, Geoff Staley, Robert Ward-Penny dhe Dave Wilkins.

Pyetja

Është dhënë që sistemi i ekuacioneve {y−x=kx2+y2=4\begin{cases} y-x=k \\ x^2+y^2=4 \end{cases} ka saktësisht një çift zgjidhjesh. Trego se k=±22k=\pm 2\sqrt{2}.

Dëshiron të na kontaktosh?

Kliko këtu për të na shkruar në WhatsApp!

Zgjidhja

Veçojmë yy nga ekuacioni i parë, y−x=k⇒y=x+ky-x=k \rArr y=x+k, dhe e zëvëndësojmë te i dyti, x2+(x+k)2=4⇒x2+x2+2kx+k2−4=0⇒2x2+2kx+k2−4=0x^2+(x+k)^2=4 \rArr x^2+x^2+2kx+k^2-4=0 \rArr 2x^2+2kx+k^2-4=0.

Dallori i këtij ekuacioni të fuqisë së dytë duhet të jetë i barabartë me zero që të kemi vetëm një rrënjë si zgjidhje, ndaj D=0⇒b2−4ac=0⇒(2k)2−4×2×(k2−4)=0⇒4k2−8k2+32=0⇒−4k2=−32⇒k2=8⇒k=±8⇒k=±22D=0 \rArr b^2-4ac=0 \rArr (2k)^2-4 \times 2 \times (k^2-4)=0 \rArr 4k^2-8k^2+32=0 \rArr -4k^2=-32 \rArr k^2=8 \rArr k=\pm \sqrt{8} \rArr k= \pm 2\sqrt{2}.