Zgjidhja e ushtrimit 19

Për të treguar se $(4x-1)$ është një faktor i $f(x)$, përdorim Teoremën e Faktorëve. Duhet të gjejmë rrënjën e faktorit, $4x-1=0 \implies 4x=1 \implies x=\frac{1}{4}$. Më pas zëvendësojmë këtë vlerë në $f(x)$:

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = 12\left(\frac{1}{4}\right)^3 + 5\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1$$

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = 12\left(\frac{1}{64}\right) + 5\left(\frac{1}{16}\right) + \frac{2}{4} - 1$$

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{12}{64} + \frac{5}{16} + \frac{1}{2} - 1$$

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{16} + \frac{5}{16} + \frac{8}{16} - \frac{16}{16}$$

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3+5+8-16}{16} = \frac{16-16}{16} = \frac{0}{16} = 0$$

Meqenëse $f\left(\frac{1}{4}\right) = 0$, atëherë $(4x-1)$ është një faktor i $f(x)$.

Për të shkruar $f(x)$ në formën $(4x-1)(ax^2+bx+c)$, kryejmë pjestimin polinomial:

$$\frac{12x^3+5x^2+2x-1}{4x-1} = 3x^2+2x+1$$

Pra,

$$f(x) = (4x-1)(3x^2+2x+1)$$

Këtu, $a=3$, $b=2$, $c=1$.