Zgjidhja e ushtrimit 15

Vargu për numrin gjithsej të katrorëve në secilin diagram:

$$1, 5, 14, 30, \dots$$

Ky varg është shuma e katrorëve të numrave të plotë deri në $n^2$. Formula e përgjithshme për diagramin $n \times n$ është:

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2$$

Ose me formulë të mbyllur:

$$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Parashikimi për numrin e përgjithshëm të katrorëve në diagramin e 5-të:

Për $n=5$ (diagrami $5 \times 5$):

$$S_5 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2$$ $$S_5 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25$$ $$S_5 = 55$$

Duke përdorur formulën e mbyllur:

$$S_5 = \frac{5(5+1)(2 \cdot 5+1)}{6} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 5 \cdot 11 = 55$$