Pyetja
Jepet $n \in N$.
Tregoni që
$$\frac{n(n + 1)}{2} \in N.$$Zgjidhja
Për të treguar që shprehja $\frac{n(n + 1)}{2}$ jep gjithmonë një numër natyror për çdo $n \in \mathbb{N}$, duhet të vërtetojmë që prodhimi i numëruesit, $n(n+1)$, është gjithmonë një numër çift (i plotpjesëtueshëm me 2).
Shqyrtojmë numëruesin e thyesës, i cili është prodhimi i dy numrave të njëpasnjëshëm: $n$ dhe $n + 1$. Në bashkësinë e numrave natyrorë, nëse marrim dy numra që vijnë fill pas njëri-tjetrit, njëri prej tyre do të jetë patjetër numër çift dhe tjetri do të jetë tek.
Analizojmë rastin kur $n$ është numër çift. Nëse $n$ është çift, atëherë ai mund të shkruhet në trajtën $n = 2k$, ku $k \in \mathbb{N}$. Duke e zëvendësuar në shprehje, numëruesi bëhet $2k(2k + 1)$. Ky prodhim është qartësisht çift sepse ka faktorin 2.
Edhe 2 hapa deri te përgjigjja
Hapat e tjerë janë falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.