Pyetja
Tri kufizat e para të një serie gjeometrike janë $(k - 6)$, $k$, $(2k + 5)$, ku $k$ është një konstante pozitive.
- Trego se $k^2 - 7k - 30 = 0$.
- Nxirr prej kësaj vlerën e $k$.
- Gjej herësin e përbashkët të kësaj serie.
- Gjej shumën e $10$ kufizave të para të kësaj serie, duke dhënë përgjigjen me afërsi deri te numri të plotë më i afërt.
Zgjidhja
Në një seri gjeometrike, herësi i çdo kufize me kufizën paraardhëse është konstant. Pra, herësi i përbashkët $r$ është:
$$r = \frac{k}{k-6} = \frac{2k+5}{k}$$Duke barazuar dy shprehjet për $r$ marrim:
$$\frac{k}{k-6} = \frac{2k+5}{k}$$Kryqëzimi i shumëzimit jep:
$$k \cdot k = (k-6)(2k+5)$$$$k^2 = 2k^2 + 5k - 12k - 30$$$$k^2 = 2k^2 - 7k - 30$$Zhvendosim të gjithë termat në njërën anë:
$$0 = 2k^2 - k^2 - 7k - 30$$$$0 = k^2 - 7k - 30$$Kështu, $k^2 - 7k - 30 = 0$ është treguar.
Për të gjetur vlerën e $k$, zgjidhim ekuacionin kuadratik $k^2 - 7k - 30 = 0$.
Mund të përdorim faktorizimin. Kërkojmë dy numra që shumohen në $-30$ dhe mblidhen në $-7$. Këta numra janë $-10$ dhe $3$.
$$(k-10)(k+3) = 0$$Kjo jep dy zgjidhje për $k$:
$$k-10=0 \implies k=10$$$$k+3=0 \implies k=-3$$Meqenëse $k$ është një konstante pozitive, ne zgjedhim $k=10$.
Edhe 2 hapa deri te përgjigjja
Hapat e tjerë janë falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.